Definition

Was ist das ARIMA-Modell?

| Autor / Redakteur: Stefan Luber / Nico Litzel

(Bild: © aga7ta - stock.adobe.com)

Das ARIMA-Modell ermöglicht die Beschreibung und Analyse von Zeitreihen. Es handelt sich um eine leistungsstarke Modellklasse, die den autoregressiven Teil und den gleitenden Mittelwertbeitrag des ARMA-Modells um die Differenzierung und Integration zur Trendbeseitigung und Herstellung der Stationarität erweitert.

Die Abkürzung für ARIMA lautet Auto-Regressive Integrated Moving Average. Beim ARIMA-Modell handelt es sich um eine Abwandlung beziehungsweise Fortführung des ARMA-Modells. Das ARIMA-Modell ist eine leistungsstarke Modellklasse, mit der sich Zeitreihen beschreiben und analysieren lassen. Es besitzt einen autoregressiven Teil (AR-Modell) und einen gleitenden Mittelwertbeitrag (MA-Modell).

Anwendbar ist das ARIMA-Modell auf viele verschiedene reale Zeitreihen. Sowohl deterministische als auch stochastische Zeitreihen lassen sich mit dem Modell beschreiben und analysieren. Das ARIMA-Modell erweitert das ARMA-Modell zur Trendbeseitigung und Herstellung der Stationarität um die Differenzierung und Integration. Zu analysierende Zeitreihen können daher auch Trendverläufe aufweisen.

Anwendung findet das Modell in vielen Wirtschafts- und Wissenschaftsbereichen. Mithilfe des Modells lassen sich auf Basis von vorhandenen Zeitreihen kurzfristige Vorhersagen treffen oder Schätzungen und Validierungen vornehmen. Eine Zeitreihe besteht aus nacheinander in mehr oder weniger regelmäßigen Abständen auftretenden Ereignissen. Beispielsweise lassen sich Umsatzzahlen, Kostenaufstellungen oder Fertigungszahlen mithilfe von Zeitreihen beschreiben. Die Zeitreihen bilden Trends und Saisonalitäten ab. Zahlreiche Programmiersprachen und Statistik-Frameworks beinhalten Funktionen und Befehle, mit denen sich das ARIMA-Modell anwenden lässt. Beispielsweise besitzen Julia, Python, Ruby, MATLAB, TOL (Time Oriented Language), Scala und viele weitere Sprachen und Programme spezielle ARIMA-Funktionen.

Die elementaren Bestandteile des ARIMA-Modells

Das ARIMA-Modell kombiniert Autoregressive-Prozesse (AR-Prozesse) und Moving Average-Prozesse (MA-Prozesse). Der Autoregressive-Prozess kommt zur Beschreibung von Zeitreihen mit deterministischem Charakter zum Einsatz und erstellt Vorhersagen auf Basis der zurückliegenden Ereignisse mithilfe von linearen Beschreibungen. Im Gegensatz zum AR-Prozess geht der MA-Prozess davon aus, dass Ereignisse zu einem bestimmten Zeitpunkt vom Rauschverhalten aktueller und früherer Zeitpunkte abhängen. Konkret bedeutet das, dass nicht vorangegangene Ereignisse die Vorhersagen bestimmen, sondern die vorangegangenen Schätz- oder Vorhersagefehler in die Berechnung des nächsten Werts einer Zeitreihe einfließen.

Der Box-Jenkins-Ansatz

Das ARIMA-Modell basiert in Teilen auf dem sogenannten Box-Jenkins-Ansatz. Unter anderem behandelt der Box-Jenkins-Ansatz die Festlegung der Ordnung des Modells (Spezifikation), die Schätzung der Parameter des Modells und die Überprüfung der Güte des Modells (Diagnose oder Validierung). Der Ansatz geht auf eine Arbeit von George E. P. Box und Gwilym M. Jenkins aus dem Jahr 1970 zurück. In der Arbeit gehen die beiden Wissenschaftler von einem stochastischen Prozess zur Modellierung von Zeitreihen aus. Dieser stochastische Ansatz erlaubt für viele reale Zeitreihen beispielsweise aus der Ökonomie eine realitätsnähere Betrachtung als andere Ansätze. Box und Jenkins fordern eine sparsame Parametrisierung des verwendeten Modells.

Aufgabe der Spezifikation eines Modells ist es, die grundlegenden Parameter und die Ordnung des Modells zu bestimmen. Anschließend folgt die Schätzung der Parameter. Die Validierung ermöglicht es, die Eignung des Modells zu beurteilen. Hierfür lassen sich verschiedene Kriterien heranziehen. Erfüllt ein Modell die Anforderungen nicht, kann es durch erneutes Spezifizieren und Schätzen optimiert werden. Ist ein optimales Modell gefunden, ist es für Zeitreihenanalysen und Vorhersagen nutzbar.

Voraussetzungen für die Verwendung des ARIMA-Modells

Die AR- und MA-Prozesse erfordern eigentlich stationäre Zeitreihen. Stationär bedeutet, dass sich die Randbedingungen einer Zeitreihe nicht verändern. Die zugrundeliegende Verteilungsfunktion der Zeitreihenwerte muss zeitlich konstant sein. Mittelwert und Varianz sind zu jeder Zeit gleich und folgen beispielsweise keinem Trend. Das Besondere am ARIMA-Modell im Vergleich zum ARMA-Modell ist, dass es durch eine zusätzliche Differenzierung und Integration Trends herausfiltern kann und durch diese Trendbeseitigung die geforderte Stationarität herstellt. Mit dem ARIMA-Modell lassen sich daher auch Zeitreihen analysieren und beschreiben, die einem Trend folgen.

Die möglichen Anwendungen des ARIMA-Modells

Generell kann das ARIMA-Modell zur Beschreibung und Analyse vieler verschiedener Zeitreihen genutzt werden. Statistische Analysen mithilfe des ARIMA-Modells finden sowohl in der Wirtschaft als auch in der Wissenschaft Verwendung. Beispielsweise lassen sich Verkaufszahlen eines Onlineshops analysieren, um zukünftige Umsätze vorherzusagen. Weitere Anwendungsmöglichkeiten der Zeitreihenanalyse mit dem ARIMA-Modell sind:

  • Auswertung von medizinischen Daten, wie sie beispielsweise bei EEG-Messungen auftreten
  • Auswertung von Finanzdaten beispielsweise von Börsenkursen
  • Auswertung von Daten eines Callcenters beispielsweise Bearbeitungsdauer eines Support-Vorgangs
  • Auswertung von Wetterdaten beispielsweise Temperatur- oder Windvorhersagen
  • Auswertung von sozialwissenschaftlichen Daten und Zeitreihen beispielsweise die Messung des Bevölkerungswachstums

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